Название: Численное решение обыкновенных дифференциальных и дифференциально-алгебраических уравнений, 2-е изд.
Автор: Скворцов Л.М.
Издательство: ДМK Пресс
Год: 2022
Страниц: 238
Язык: русский
Формат: pdf
Размер: 99,1 MB

Книга посвящена численному решению задач с начальными условиями для обыкновенных дифференциальных и дифференциально-алгебраических уравнений. Рассматриваются явные и неявные, одношаговые и многошаговые методы, среди которых новые оригинальные методы. Особое внимание уделено решению жестких задач (в том числе и с использованием специальных явных методов), а также решению дифференциально-алгебраических задач высших индексов. Наряду с теоретическими результатами приведены результаты решения тестовых задач и рассмотрены вопросы программной реализации численных методов.

На современном этапе развития цивилизации прогресс во многих областях науки и техники определяется степенью внедрения в научно-технические разработки математического и имитационного моделирования. Замена натурных экспериментов компьютерным моделированием существенно удешевляет и ускоряет научные исследования, а также позволяет избежать трагических ошибок, вызванных критическими состояниями человеческого организма, технических объектов, окружающей среды.

Многие процессы в природе и технике описываются обыкновенными дифференциальными уравнениями (ОДУ) и дифференциальными уравнениями в частных производных. Лишь в редких случаях такие уравнения имеют ана­литическое решение, поэтому приходится решать их численно. Уравнения в частных производных можно привести к системе ОДУ, применив метод пря­мых (method of lines), т.е. заменив пространственные производные конечны­ми разностями. Переменные, входящие в систему ОДУ, могут быть связаны некоторыми алгебраическими соотношениями, в этом случае получаем систему дифференциально-алгебраических уравнений (ДАУ).

Таким образом, многие явления и процессы в физике, химии, астрономии, биологии, технике могут быть описаны в виде системы ОДУ или ДАУ, а моделирование этих процессов сводится к численному решению таких систем. Поэтому очевидна важность построения и реализации в виде компьютерных про­грамм эффективных методов численного решения ОДУ и ДАУ. Компьютерные программы – решатели ОДУ и ДАУ – рассматривались в [4, 74, 75, 128]. Такие программы удобно применять, если математическая модель задана непосред­ственно в виде системы уравнений. Однако в различных предметных областях применяют также и другие способы представления математической модели: структурные схемы систем автоматического управления, электрические схемы в электротехнике и электронике, кинематические схемы в механике и робото­технике и т.д. Для удобства моделирования таких систем программы снабжают специализированным интерфейсом, позволяющим пользователю задавать модель в удобном виде.

Наиболее известным и популярным программным средством модели­рования разнородных (т.е. содержащих элементы разной физической при­роды) динамических систем является пакет Simulink, входящий в систему математических вычислений MATLAB. Среди аналогичных отечественных разработок особого внимания заслуживает программное обеспечение (ПО) «Среда динамического моделирования технических систем SimInTech». Далее будем использовать название ПО SimInTech или SimInTech (сокращение от Simulation In Technic).

Глава 1 является вводной, в ней даны постановки задачи Коши для систем ОДУ и ДАУ, рассмотрены различные классы задач и методов их решения. К трудным для численного решения отнесены жесткие, колебательные и плохо обусловленные задачи, задачи с разрывами и ДАУ высших индексов. Предложены количественные меры жесткости, колебательности и неустойчивости задачи Коши, приведены значения этих мер для известных тестовых задач.

В главе 2 рассмотрены явные методы Рунге–Кутты для нежестких задач. Приведены условия порядка до 5­го включительно и даны рекомендации по выбору оптимальных коэффициентов. Рассмотрены два способа построения вложенных пар методов с оцениванием ошибки. Приведены коэффициенты известных и новых вложенных пар до 5­го порядка, а также результаты их тестового сравнения. Рассмотрен эффективный способ решения задач с разрывами.

В главе 3 рассмотрены неявные одношаговые методы низкой точности. Для реализации выбраны три метода 2­го порядка: трапеций, TR­BDF2 и Лобатто IIIC. На примере метода трапеций рассмотрены четыре схемы реализации не­явных методов. Представлены детальные схемы реализации выбранных ме­тодов и новые схемы типа Розенброка. Приведены результаты их тестового сравнения с решателями MATLAB.

Глава 4 содержит теоретические и экспериментальные результаты о сходи­мости методов Рунге–Кутты при решении жестких и дифференциально-алгебраических задач...

В качестве инструментов для исследования методов численного реше­ния ОДУ и ДАУ автор использовал алгоритмы, реализованные в ПК МВТУ, ПО SimInTech, а также в системе компьютерных вычислений MathCAD. Такие про­граммные инструменты заметно сокращают объем рутинной работы по построению, реализации и тестированию новых методов.

Для всех, кто интересуется численными методами решения дифференциальных и дифференциально-алгебраических уравнений.