Предисловие
Введение
Погрешности вычислений
Компьютерная арифметика
Интервальная арифметика
Интервальные расширения функций
Обусловленность математических задач
Устойчивость алгоритмов
Элементы конструктивной математики
Сложность задач и трудоёмкость алгоритмов
Доказательные вычисления на ЭВМ
Литература к главе
Численные методы анализа
Введение
Интерполирование функций
Постановка задачи и её свойства
Интерполяционный полином Лагранжа
Разделённые разности и их свойства
Интерполяционный полином Ньютона
Погрешность алгебраической интерполяции
Полиномы Чебышёва
Определение и основные свойства
Применения полиномов Чебышёва
Обусловленность алгебраической интерполяции
Интерполяция с кратными узлами
Общие факты интерполяции
Интерполяционный процесс
Сводка результатов и обсуждение
Сплайны
Элементы теории
Интерполяционные кубические сплайны
Погрешность интерполирования сплайнами
Экстремальное свойство кубических сплайнов
Нелинейные методы интерполяции
Численное дифференцирование
Интерполяционный подход
Оценка погрешности дифференцирования
Метод неопределённых коэффициентов
Полная погрешность дифференцирования
Алгоритмическое дифференцирование
Приближение функций
Обсуждение постановки задачи
Существование и единственность приближения
Приближение в евклидовом подпространстве
Геометрия наилучшего приближения
Среднеквадратичное приближение из линейной оболочки векторов
Псевдорешения систем линейных уравнений
Среднеквадратичное приближение функций
Полиномы Лежандра
Мотивация и определение
Основные свойства полиномов Лежандра
Численное интегрирование
Постановка и обсуждение задачи
Простейшие квадратурные формулы
Квадратурная формула Симпсона
Интерполяционные квадратурные формулы
Дальнейшие формулы Ньютона-Котеса
Метод неопределённых коэффициентов
Квадратурные формулы Гаусса
Задача оптимизации квадратурных формул
Простейшие квадратуры Гаусса
Выбор узлов для квадратурных формул Гаусса
Практическое применение формул Гаусса
Погрешность квадратур Гаусса
Составные квадратурные формулы
Сходимость квадратур
Вычисление интегралов методом Монте-Карло
Правило Рунге для оценки погрешности
Литература к главе
Численные методы линейной алгебры
Задачи вычислительной линейной алгебры
Теоретическое введение
Краткий обзор линейной алгебры
Основные понятия теории матриц
Собственные числа и собственные векторы
Разложения матриц, использующие их спектр
Сингулярные числа и сингулярные векторы
Сингулярное разложение матриц
Системы линейных алгебраических уравнений
Нормы векторов и матриц
Векторные нормы
Топология на векторных пространствах
Матричные нормы
Подчинённые матричные нормы
Топология на множествах матриц
Энергетическая норма
Спектральный радиус
Матричный ряд Неймана
Приложения сингулярного разложения
Исследование неособенности и ранга матриц
Решение систем линейных уравнений
Малоранговые приближения матрицы
Метод главных компонент
Обусловленность систем линейных уравнений
Число обусловленности матриц
Примеры хорошо и плохо обусловленных матриц
Матрицы с диагональным преобладанием
Практическое применение числа обусловленности
Прямые методы решения линейных систем
Основные понятия
Решение треугольных и трапециевидных линейных систем
Метод Гаусса для решения линейных систем
Матричная интерпретация метода Гаусса
Метод Гаусса с выбором ведущего элемента
Существование LU-разложения
Разложение Холесского
Метод Холесского
Методы на основе ортогональных преобразований
Обусловленность и матричные преобразования
Ортогональные преобразования и матричные вычисления
QR-разложение матриц
Ортогональные матрицы отражения
Метод Хаусхолдера
Матрицы вращения и метод вращений
Процессы ортогонализации
Метод прогонки
Стационарные итерационные методы
Краткая теория
Сходимость стационарных одношаговых методов
Подготовка системы к итерационному процессу
Оптимизация скалярного предобуславливателя
Итерационный метод Якоби
Итерационный метод Гаусса-Зейделя
Методы релаксации
Нестационарные итерационные методы
Теоретическое введение
Метод спуска для минимизации функций
Наискорейший градиентный спуск
Метод минимальных невязок
Метод сопряжённых градиентов
Методы установления
Теория А.А. Самарского
Вычисление определителей и обратных матриц
Оценка погрешности приближённого решения
Линейная задача наименьших квадратов
Постановка задачи и основные свойства
Численные методы для линейной задачи наименьших квадратов
Проблема собственных значений
Обсуждение постановки задачи
Обусловленность проблемы собственных значений
Коэффициенты перекоса матрицы
Круги Гершгорина
Отношение Рэлея
Предварительное упрощение матрицы
Численные методы для несимметричной проблемы собственных значений
Степенной метод
Обратные степенные итерации
Сдвиги спектра
Базовый QR-алгоритм
Модификации QR-алгоритма
Численные методы для симметричной проблемы собственных значений
Метод Якоби
Численные методы сингулярного разложения
Литература к главе
Решение нелинейных уравнений и их систем
Введение
Вычислительно-корректные задачи
Предварительные сведения и определения
Задача решения уравнений не является вычислительно-корректной
ε-решения уравнений
Недостаточность ε-решений
Векторные поля и их вращение
Векторные поля
Вращение векторных полей
Индексы особых точек
Устойчивость особых точек
Вычислительно-корректная постановка
Классические методы решения уравнений
Предварительная локализация решений
Метод дихотомии
Метод простой итерации
Метод Ньютона и его модификации
Методы Чебышёва
Классические методы решения систем уравнений
Метод простой итерации
Метод Ньютона и его модификации
Интервальные линейные системы уравнений
Интервальный метод Гаусса-Зейделя
Интервальные методы решения уравнений
Основы интервальной техники
Одномерный интервальный метод Ньютона
Многомерный интервальный метод Ньютона
Метод Кравчика
Глобальное решение уравнений и систем
Литература к главе
Обозначения
Краткий биографический словарь
Предметный указатель