Введение
Элементы теории графов
Основные понятия теории графов
Эйлеровы графы
Гамильтоновы графы
Литература к главе
Упражнения к главе
Элементы топологии
Топологические пространства и непрерывные отображения
База окрестностей
Непрерывные отображения
Открытые множества и непрерывные отображения
Топология и топологические пространства
Индуцированная топология
Гомеоморфизм
Линейная связность
Компактность
Литература к главе
Упражнения к главе
Теорема Жордана
Теорема Жордана
Ломаные и теорема Жордана
Доказательство теоремы Жордана для ломаных
Реализация пункта
Реализация пункта
Реализация пункта
Реализация пункта
Литература к главе
Упражнения к главе
Приложения теоремы Жордана. Плоские графы
Геометрические графы
Плоские и планарные графы
Формула Эйлера для плоских графов
Планарные графы. Критерий Понтрягина-Куратовского
Литература к главе
Упражнения к главе
Многогранники
Многоугольники
Многогранные поверхности. Определение многогранников
Графы, связанные с многогранными поверхностями
Выпуклые многогранники
Формула Эйлера для многогранников
Правильные многогранники
Теорема о “еже” выпуклого многогранника
Литература к главе
Упражнения к главе
Элементы сферической геометрии
Сферические фигуры
Выпуклые сферические многоугольники
Эйлеровы многоугольники
Сферические треугольники
Расстояние на сфере
Окружности на сфере
Теоремы о сферических треугольниках
Литература к главе
Упражнения к главе
Жесткие и изгибаемые многогранники
Тригонометрическая лемма Коши
Многогранники с одинаковой структурой границы
Теорема Коши о жесткости
выпуклых многогранников
Изгибаемые многогранники
Литература к главе
Упражнения к главе
Равновеликость и равносоставленность. Третья проблема Гильберта
Критерий равносоставленности многогранников
Примеры вычисления инвариантов Дена
Некоторые следствия из теоремы Дена
Доказательство теоремы Дена
Решение Третьей проблемы Гильберта
Дальнейшее развитие
Литература к главе
Упражнения к главе
Кратчайшие кривые и геодезические
Кратчайшие кривые
Евклидово пространство
Нормированное пространство
Манхеттенское пространство
Сфера
Многогранники
Интегральная формула длины пространственной кривой
Прямой круговой цилиндр
Геодезические
Литература к главе
Упражнения к главе
Минимальные сети
Кратчайшие деревья на евклидовой плоскости
Задача Ферма
Локальная структура кратчайших деревьев. Локально минимальные деревья
Алгоритм построения кратчайшего дерева на евклидовой плоскости
Алгоритм Мелзака
Формула Максвелла
Замкнутые локально минимальные сети на многогранниках
Литература к главе
Упражнения к главе
Инварианты плоских замкнутых кривых
Замкнутые гладкие и регулярные кривые на плоскости
Свойства периодических функций
Число вращения. Классификация замкнутых регулярных кривых
Число вращения и точки самопересечения
Число Уитни. Теорема Уитни
Литература к главе
Упражнения к главе
Двумерные поверхности
Край триангулируемой поверхности
Ориентация триангулируемых поверхностей
Гомеоморфизм поверхностей
Склейки из квадрата
Основные операции
Классификация ориентируемых поверхностей
Классификация неориентируемых поверхностей
Литература к главе
Упражнения к главе
Шарнирные механизмы
Простейшие шарнирные механизмы
Шарнирный механизм, реализующий параллельный перенос
Важное замечание. Антипараллелограмм
Укрепление параллелограмма и антипараллелограмма
Параллельный перенос и сложение векторов: транслятор Кемпе
Умножение углов на целые числа и деление углов на равные части: реверсор Кемпе
Сложения углов: сумматор Кемпе
Инверсия
Определение и основные свойства инверсии
Механизмы, реализующие инверсию
Теорема Кемпе
Рисуемые множества и теорема Кинга
Универсальная теорема Кемпе
Исторические комментарии
Паровая машина и параллелограмм Уатта
Лямбда-механизм и стопоходящая машина Чебышева
Инверсор Поселье
Формализация
Пример: ромб
Укрепление шарнирного механизма: общий подход
Пример: параллелограмм и антипараллелограмм
Как нарисовать решение уравнения?
Литература к главе
Симметрии плоских кристаллов
Плоские кристаллы и их группы симметрий
Замощения
Группа движений прямой и ее дискретные подгруппы
Движения плоскости
Группы симметрий бордюров
Движения, содержащиеся в группе бордюра
Классификация групп
Немного алгебры
Кристаллографические группы для плоскости
Параллельные переносы в кристаллографической группе
Повороты и отражения.
кристаллографических классов
Симметрии решеток. арифметических классов
Решетки Браве, типы Браве и сингонии
Классификация федоровских групп
Когомологии кристаллографических классов
Алгебраический аспект кристаллографии. Классификация в других размерностях
Квазикристаллы
Литература к главе
Пространство Минковского
Псевдоевклидово скалярное произведение
Подпространства и ортогональные дополнения
Преобразования Лоренца
Собственное время. Инерциальные наблюдатели. Относительность одновременности, сокращение длин и замедление времени
Собственное время. Инерциальные наблюдатели. Неравенство Коши-Буняковского, неравенство треугольника и парадокс близнецов
Литература к главе
Упражнения к главе
Геометрия Лобачевского
Псевдосфера в пространстве Минковского
Касательная плоскость к псевдосфере и геометрия Лобачевского
Движения и прямые плоскости Лобачевского
Нарушение аксиомы параллельных
Расстояние на плоскости Лобачевского
Окружности на плоскости Лобачевского
Треугольники на плоскости Лобачевского
Стереографическая проекция псевдосферы. Метрика Лобачевского в модели Пуанкаре на единичном круге
Комплексные координаты и комплексная запись скалярного произведения
Модель Пуанкаре в верхней полуплоскости
Углы в модели Пуанкаре
Прямые в модели Пуанкаре
Движения в модели Пуанкаре
Литература к главе
Упражнения к главе
Предметный указатель