Оглавление: (том 1)
Предисловие

ГЛАВА ПЕРВАЯ. ВЕЩЕСТВЕННЫЕ ЧИСЛА
§ 1. Множество вещественных чисел и его упорядочение
1. Предварительные замечания
2. Определение иррационального числа
3. Упорядочение множества вещественных чисел
4. Представление вещественного числа бесконечной десятичной дробью
5. Непрерывность множества вещественных чисел
6. Границы числовых множеств
§ 2. Арифметические действия над вещественными числами
7. Определение и свойства суммы вещественных чисел
8. Симметричные числа. Абсолютная величина
9. Определение и свойства произведения вещественных чисел
§ 3. Дальнейшие свойства и приложения вещественных чисел
10. Существование корня. Степень с рациональным показателем
11. Степень с любым вещественным показателем
12. Логарифмы
13. Измерение отрезков

ГЛАВА ВТОРАЯ. ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
§ 1. Понятие функции
14. Переменная величина
15. Область изменения переменной величины
16. Функциональная зависимость между переменными. Примеры
17. Определение понятия функции
18. Аналитический способ задания функции
19. График функции
20. Функции натурального аргумента
21. Исторические замечания
§ 2. Важнейшие классы функций
22. Элементарные функции
23. Понятие обратной функции
24. Обратные тригонометрические функции
25. Суперпозиция функций. Заключительные замечания

ГЛАВА ТРЕТЬЯ. ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ
§ 1. Предел функции
26. Исторические замечания
27. Числовая последовательность
28. Определение предела последовательности
29. Бесконечно малые величины
30. Примеры
31. Бесконечно большие величины
32. Определение предела функции
33. Другое определение предела функции
34. Примеры
35. Односторонние пределы
§ 2. Теоремы о пределах
36. Свойства функции от натурального аргумента, имеющей конечный предел
37. Распространение на случай функции от произвольной, переменной
38. Предельный переход в равенстве и неравенстве
39. Леммы о бесконечно малых
40. Арифметические операции над переменными
41. Неопределенные выражения
42. Распространение на случай функции от произвольной переменной
43. Примеры
§ 3. Монотонная функция
44. Предел монотонной функции от натурального аргумента
45. Примеры
46. Лемма о вложенных промежутках
47. Предел монотонной функции в общем случае
§ 4. Число е
48. Число е как предел последовательности
49. Приближенное вычисление числа е
50. Основная формула для числа е. Натуральные логарифмы
§ 5. Принцип сходимости
51. Частичные последовательности
52. Условие существования конечного предела для функции от натурального аргумента
53. Условие существования конечного предела для функции любого аргумента
§ 6. Классификация бесконечно малых и бесконечно больших величин
54. Сравнение бесконечно малых
55. Шкала бесконечно малых
56. Эквивалентные бесконечно малые
57. Выделение главной части
58. Задачи
59. Классификация бесконечно больших

ГЛАВА ЧЕТВЕРТАЯ. НЕПРЕРЫВНЫЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
§ 1. Непрерывность (и разрывы) функции
60. Определение непрерывности функции в точке
61. Условие непрерывности монотонной функции
62. Арифметические операции над непрерывными функциями
63. Непрерывность элементарных функций
64. Суперпозиция непрерывных функций
65. Вычисление некоторых пределов
66. Степенно-показательные выражения
67. Классификация разрывов. Примеры
§ 2. Свойства непрерывных функций
68. Теорема об обращении функции в нуль
69. Применение к решению уравнений
70. Теорема о промежуточном значении
71. Существование обратной функции
72. Теорема об ограниченности функции
73. Наибольшее и наименьшее значения функции
74. Понятие равномерной непрерывности
75. Теорема о равномерной непрерывности

ГЛАВА ПЯТАЯ. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
§ 1. Производная и ее вычисление
76. Задача о вычислении скорости движущейся точки
77. Задача о проведении касательной к кривой
78. Определение производной
79. Примеры вычисления производных
80. Производная обратной функции
81. Сводка формул для производных
82. Формула для приращения функции
83. Простейшие правила вычисления производных
84. Производная сложной функции
85. Примеры
86. Односторонние производные
87. Бесконечные производные
88. Дальнейшие примеры особых случаев
§ 2. Дифференциал
89. Определение дифференциала
90. Связь между дифференцируемостью и существованием производной
91. Основные формулы и правила дифференцирования
92. Инвариантность формы дифференциала
93. Дифференциалы как источник приближенных формул
94. Применение дифференциалов при оценке погрешностей
§ 3. Производные и дифференциалы высших порядков
95. Определение производных высших порядков
96. Общие формулы для производных любого порядка
97. Формула Лейбница
98. Дифференциалы высших порядков
99. Нарушение инвариантности формы для дифференциалов высших порядков

ГЛАВА ШЕСТАЯ. ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ
§ 1. Теоремы о средних значениях
100. Теорема Ферма
101. Теорема Ролля
102. Теорема о конечных приращениях
103. Предел производной
104. Обобщенная теорема о конечных приращениях
§ 2. Формула Тейлора
105. Формула Тейлора для многочлена
106. Разложение произвольной функции
107. Другая форма дополнительного члена
108. Приложение полученных формул к элементарным функциям
109. Приближенные формулы. Примеры

ГЛАВА СЕДЬМАЯ. ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ С ПОМОЩЬЮ ПРОИЗВОДНЫХ
§ 1. Изучение хода изменения функции
110. Условие постоянства функции
111. Условие монотонности функции
112. Максимумы и минимумы; необходимые условия
113. Первое правило
114. Второе правило
115. Построение графика функции
116. Примеры
117. Использование высших производных
§ 2. Наибольшее и наименьшее значения функции
118. Разыскание наибольших и наименьших значений
119. Задачи
§ 3. Раскрытие неопределенностей
120. Неопределенности вида
121. Неопределенности вида
122. Другие виды неопределенностей

ГЛАВА ВОСЬМАЯ. ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ
§ 1. Основные понятия
123. Функциональная зависимость между переменными. Примеры
124. Функции двух переменных и области их определения
125. Арифметическое m-мерное пространство
126. Примеры областей в m-мерном пространстве
127. Общее определение открытой и замкнутой областей
128. Функции m переменных
129. Предел функции нескольких переменных
130. Примеры
131. Повторные пределы
§ 2. Непрерывные функции
132. Непрерывность и разрывы функций нескольких переменных
133. Операции над непрерывными функциями
134. Теорема об обращении функции в нуль
135. Лемма Больцано - Вейерштрасса
136. Теорема об ограниченности функции
137. Равномерная непрерывность

ГЛАВА ДЕВЯТАЯ. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ
§ 1. Производные и дифференциалы функций нескольких переменных
138. Частные производные
139. Полное приращение функции
140. Производные от сложных функций
141. Примеры
142. Полный дифференциал
143. Инвариантность формы (первого) дифференциала
144. Применение полного дифференциала в приближенных вычислениях
145. Однородные функции
§ 2. Производные и дифференциалы высших порядков
146. Производные высших порядков
147. Теоремы о смешанных производных
148. Дифференциалы высших порядков
149. Дифференциалы сложных функций
150. Формула Тейлора
§ 3. Экстремумы, наибольшие и наименьшие значения
151. Экстремумы функции нескольких переменных. Необходимые условия
152. Исследование стационарных точек (случай двух переменных)
153. Наибольшее и наименьшее значения функции. Примеры
154. Задачи

ГЛАВА ДЕСЯТАЯ. ПЕРВООБРАЗНАЯ ФУНКЦИЯ (НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ)
§ 1. Неопределенный интеграл и простейшие приемы его вычисления
155. Понятие первообразной функции (и неопределенного интеграла)
156. Интеграл и задача об определении площади
157. Таблица основных интегралов
158. Простейшие правила интегрирования
159. Примеры
160. Интегрирование путем замены переменной
161. Примеры
162. Интегрирование по частям
163. Примеры
§ 2. Интегрирование рациональных выражений
164. Постановка задачи интегрирования в конечном виде
165. Простые дроби и их интегрирование
166. Интегрирование правильных дробей
167. Метод Остроградского для выделения рациональной части интеграла
§ 3. Интегрирование некоторых выражений, содержащих радикалы
168. Интегрирование выражений вида
169. Интегрирование биномиальных дифференциалов
170. Интегрирование выражений вида. Подстановки Эйлера
§ 4. Интегрирование выражений, содержащих тригонометрические и показательную функции
171. Интегрирование дифференциалов
172. Обзор других случаев
§ 5. Эллиптические интегралы
173. Определения
174. Приведение к канонической форме

ГЛАВА ОДИННАДЦАТАЯ. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
§ 1. Определение и условия существования определенного интеграла
175. Другой подход к задаче о площади
176. Определение
177. Суммы Дарбу
178. Условие существования интеграла
179. Классы интегрируемых функций
§ 2. Свойства определенных интегралов
180. Интеграл по ориентированному промежутку
181. Свойства, выражаемые равенствами
182. Свойства, выражаемые неравенствами
183. Определенный интеграл как функция верхнего предела
§ 3. Вычисление и преобразование определенных интегралов
184. Вычисление с помощью интегральных сумм
185. Основная формула интегрального исчисления
186. Формула замены переменной в определенном интеграле
187. Интегрирование по частям в определенном интеграле
188. Формула Валлиса
§ 4. Приближенное вычисление интегралов
189. Формула трапеций
190. Параболическая формула
191. Дополнительные члены приближенных формул
192. Пример

ГЛАВА ДВЕНАДЦАТАЯ. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ И МЕХАНИЧЕСКИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ ИНТЕГРАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ
§ 1. Площади и объемы
193. Определение понятия площади. Квадрируемые области
194. Аддитивность площади
195. Площадь как предел
196. Выражение площади интегралом
197. Определение понятия объема, его свойства
198. Выражение объема интегралом
§ 2. Длина дуги
199. Определение понятия длины дуги
200. Леммы
201. Выражение длины дуги интегралом
202. Переменная дуга, ее дифференциал
203. Длина дуги пространственной кривой
§ 3. Вычисление механических и физических величин
204. Схема применения определенного интеграла
205. Площадь поверхности вращения
206. Нахождение статических моментов и центра тяжести кривой
207. Нахождение статических моментов и центра тяжести плоской фигуры
208. Механическая работа

ГЛАВА ТРИНАДЦАТАЯ. НЕКОТОРЫЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ
§ 1. Касательная и касательная плоскость
209. Аналитическое представление кривых на плоскости
210. Касательная к плоской кривой
211. Положительное направление касательной
212. Случай пространственной кривой
213. Касательная плоскость к поверхности
§ 2. Кривизна плоской кривой
214. Направление вогнутости, точки перегиба
215. Понятие кривизны
216. Круг кривизны и радиус кривизны

ГЛАВА ЧЕТЫРНАДЦАТАЯ. ИСТОРИЧЕСКИЙ ОЧЕРК ВОЗНИКНОВЕНИЯ ОСНОВНЫХ ИДЕЙ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА
§ 1. Предыстория дифференциального и интегрального исчисления
217. XVII век и анализ бесконечно малых
218. Метод неделимых
219. Дальнейшее развитие учения о неделимых
220. Нахождение наибольших и наименьших, проведение касательных
221. Проведение касательных с помощью кинематических соображений
222. Взаимная обратность задач проведения касательной и квадратуры
223. Обзор предыдущего
§ 2. Исаак Ньютон (1642—1727)
224. Исчисление флюксий
225. Исчисление, обратное исчислению флюксий; квадратуры
226. Ньютоновы «Начала» и зарождение теории пределов
227. Вопросы обоснования у Ньютона
§ 3. Готфрид Вильгельм Лейбниц (1646—1716)
228. Начальные шаги в создании нового исчисления
229. Первая печатная работа по дифференциальному исчислению
230. Первая печатная работа по интегральному исчислению
231. Дальнейшие работы Лейбница. Создание школы
232. Вопросы обоснования у Лейбница
233. Послесловие

Алфавитный указатель
[свернуть]
Оглавление: (том 2)
ГЛАВА ПЯТНАДЦАТАЯ. ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ
§ 1. Введение
234. Основные понятия
235. Простейшие теоремы
§ 2. Сходимость положительных рядов
236. Условие сходимости положительного ряда
237. Теоремы сравнения рядов
238. Примеры
239. Признаки Коши и Даламбера
240. Признак Раабе
241. Интегральный признак Маклорена - Коши
§ 3. Сходимость произвольных рядов
242. Принцип сходимости
243. Абсолютная сходимость
244. Знакопеременные ряды
§ 4. Свойства сходящихся рядов
245. Сочетательное свойство
246. Переместительное свойство абсолютно сходящихся рядов
247. Случай неабсолютно сходящихся рядов
248. Умножение рядов
§ 5. Бесконечные произведения
249. Основные понятия
250. Простейшие теоремы. Связь с рядами
251. Примеры
§ 6. Разложения элементарных функций в степенные ряды
252. Ряд Тейлора
253. Разложение в ряд показательной и основных тригонометрических функций
254. Формулы Эйлера
255. Разложение арктангенса
256. Логарифмический ряд
257. Формула Стирлинга
258. Биномиальный ряд
259. Замечание об исследовании дополнительного члена
§ 7. Приближенные вычисления с помощью рядов
260. Постановка вопроса
261. Вычисление числа п
262. Вычисление логарифмов

ГЛАВА ШЕСТНАДЦАТАЯ. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ И РЯДЫ
§ 1. Равномерная сходимость
263. Вводные замечания
264. Равномерная и неравномерная сходимость
265. Условие равномерной сходимости
§ 2. Функциональные свойства суммы ряда
266. Непрерывность суммы ряда
267. Случай положительных рядов
268. Почленный переход к пределу
269. Почленное интегрирование рядов
270. Почленное дифференцирование рядов
271. Пример непрерывной функции без производной
§ 3. Степенные ряды и ряды многочленов
272. Промежуток сходимости степенного ряда
273. Непрерывность суммы степенного ряда
274. Непрерывность на конце промежутка сходимости
275. Почленное интегрирование степенного ряда
276. Почленное дифференцирование степенного ряда
277. Степенной ряд как ряд Тейлора
278. Разложение непрерывной функции в ряд многочленов
§ 4. Очерк истории рядов
279. Эпоха Ньютона и Лейбница
280. Период формального развития теории рядов
281. Создание точной теории

ГЛАВА СЕМНАДЦАТАЯ. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
§ 1. Несобственные интегралы с бесконечными пределами
282. Определение интегралов с бесконечными пределами
283. Применение основной формулы интегрального исчисления
284. Аналогия с рядами. Простейшие теоремы
285. Сходимость интеграла в случае положительной функции
286. Сходимость интеграла в общем случае
287. Более тонкие признаки
§ 2. Несобственные интегралы от неограниченных функций
288. Определение интегралов от неограниченных функций
289. Применение основной формулы интегрального исчисления
290. Условия и признаки сходимости интеграла
§ 3. Преобразование и вычисление несобственных интегралов
291. Интегрирование по частям в случае несобственных интегралов
292. Замена переменных в несобственных интегралах
293. Вычисление интегралов с помощью искусственных приемов

ГЛАВА ВОСЕМНАДЦАТАЯ. ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА
§ 1. Элементарная теория
294. Постановка задачи
295. Равномерное стремление к предельной функции
296. Предельный переход под знаком интеграла
297. Дифференцирование под знаком интеграла
298. Интегрирование под знаком интеграла
299. Случай, когда и пределы интеграла зависят от параметра
300. Примеры
§ 2. Равномерная сходимость интегралов
301. Определение равномерной сходимости интегралов
302. Условие и достаточные признаки равномерной сходимости
303. Случай интегралов с конечными пределами
§ 3. Использование равномерной сходимости интегралов
304. Предельный переход под знаком интеграла
305. Интегрирование интеграла по параметру
306. Дифференцирование интеграла по параметру
307. Замечание об интегралах с конечными пределами
308. Вычисление некоторых несобственных интегралов
§ 4. Эйлеровы интегралы
309. Эйлеров интеграл первого рода
310. Эйлеров интеграл второго рода
311. Простейшие свойства функции Г
312. Примеры
313. Исторические замечания о перестановке двух предельных операций

ГЛАВА ДЕВЯТНАДЦАТАЯ. НЕЯВНЫЕ ФУНКЦИИ. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ОПРЕДЕЛИТЕЛИ
§ 1. Неявные функции
314. Понятие неявной функции от одной переменной
315. Существование и свойства неявной функции
316. Неявная функция от нескольких переменных
317. Определение неявных функций из системы уравнений
318. Вычисление производных неявных функций
§ 2. Некоторые приложения теории неявных функций
319. Относительные экстремумы
320. Метод неопределенных множителей Лагранжа
321. Примеры и задачи
322. Понятие независимости функций
323. Ранг функциональной матрицы
§ 3. Функциональные определители и их формальные свойства
324. Функциональные определители
325. Умножение функциональных определителей
326. Умножение неквадратных функциональных матриц

ГЛАВА ДВАДЦАТАЯ. КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
§ 1. Криволинейные интегралы первого типа
327. Определение криволинейного интеграла первого типа
328. Сведение к обыкновенному определенному интегралу
329. Примеры
§ 2. Криволинейные интегралы второго типа
330. Определение криволинейных интегралов второго типа
331. Существование и вычисление криволинейного интеграла второго типа
332. Случай замкнутого контура. Ориентация плоскости
333. Примеры
334. Связь между криволинейными интегралами обоих типов
335. Приложения к физическим задачам

ГЛАВА ДВАДЦАТЬ ПЕРВАЯ. ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
§ 1. Определение и простейшие свойства двойных интегралов
336. Задача об объеме цилиндрического бруса
337. Сведение двойного интеграла к повторному
338. Определение двойного интеграла
339. Условие существования двойного интеграла
340. Классы интегрируемых функций
341. Свойства интегрируемых функций и двойных интегралов
342. Интеграл как аддитивная функция области; дифференцирование по области
§ 2. Вычисление двойного интеграла
343. Приведение двойного интеграла к повторному в случае прямоугольной области
344. Приведение двойного интеграла к повторному в случае криволинейной области
345. Механические приложения
§ 3. Формула Грина
346. Вывод формулы Грина
347. Выражение площади с помощью криволинейных интегралов
§ 4. Условия независимости криволинейного интеграла от пути интегрирования
348. Интеграл по простому замкнутому контуру
349. Интеграл по кривой, соединяющей две произвольные точки
350. Связь с вопросом о точном дифференциале
351. Приложения к физическим задачам
§ 5. Замена переменных в двойных интегралах
352. Преобразование плоских областей
353. Выражение площади в криволинейных координатах
354. Дополнительные замечания
355. Геометрический вывод
356. Замена переменных в двойных интегралах
357. Аналогия с простым интегралом. Интеграл по ориентированной области
358. Примеры
359. Исторические замечания

ГЛАВА ДВАДЦАТЬ ВТОРАЯ. ПЛОЩАДЬ ПОВЕРХНОСТИ. ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
§ 1. Двусторонние поверхности
360. Параметрическое представление поверхности
361. Сторона поверхности
362. Ориентация поверхности и выбор ее стороны
363. Случай кусочно-гладкой поверхности
§ 2. Площадь кривой поверхности
364. Пример Шварца
365. Площадь поверхности, заданной явным уравнением
366. Площадь поверхности в общем случае
367. Примеры
§ 3. Поверхностные интегралы первого типа
368. Определение поверхностного интеграла первого типа
369. Сведение к обыкновенному двойному интегралу
370. Механические приложения поверхностных интегралов первого типа
§ 4. Поверхностные интегралы второго типа
371. Определение поверхностных интегралов второго типа
372. Сведение к обыкновенному двойному интегралу
373. Формула Стокса
374. Приложение формулы Стокса к исследованию криволинейных интегралов в пространстве

ГЛАВА ДВАДЦАТЬ ТРЕТЬЯ. ТРОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
§ 1. Тройной интеграл и его вычисление
375. Задача о вычислении массы тела
376. Тройной интеграл и условие его существования
377. Свойства интегрируемых функций и тройных интегралов
378. Вычисление тройного интеграла
379. Механические приложения
§ 2. Формула Остроградского
380. Формула Остроградского
381. Некоторые примеры приложения формулы Остроградского
§ 3. Замена переменных в тройных интегралах
382. Преобразование пространственных областей
383. Выражение объема в криволинейных координатах
384. Геометрический вывод
385. Замена переменных в тройных интегралах
386. Примеры
387. Исторические замечания
§ 4. Элементы теории поля
388. Скаляры и векторы
389. Скалярное и векторное поля
390. Производная по заданному направлению. Градиент
391. Поток вектора через поверхность
392. Формула Остроградского. Дивергенция
393. Циркуляция вектора. Формула Стокса. Вихрь
§ 5. Многократные интегралы
394. Объем m-мерного тела и m-кратный интеграл
395. Примеры

ГЛАВА ДВАДЦАТЬ ЧЕТВЕРТАЯ. РЯДЫ ФУРЬЕ
§ 1. Введение
396. Периодические величины и гармонический анализ
397. Определение коэффициентов по методу Эйлера-Фурье
398. Ортогональные системы функций
§ 2. Разложение функций в ряд Фурье
399. Постановка вопроса. Интеграл Дирихле
400. Основная лемма
401. Принцип локализации
402. Представление функции рядом Фурье
403. Случай непериодической функции
404. Случай произвольного промежутка
405. Разложение только по косинусам или только по синусам
406. Примеры
407. Разложение непрерывной функции в ряд тригонометрических многочленов
§ 3. Интеграл Фурье
408. Интеграл Фурье как предельный случай ряда Фурье
409. Предварительные замечания
410. Представление функции интегралом Фурье
411. Различные виды формулы Фурье
412. Преобразование Фурье
§ 4. Замкнутость и полнота тригонометрической системы функций
413. Приближение функций в среднем. Экстремальные свойства отрезков ряда Фурье
414. Замкнутость тригонометрической системы
415. Полнота тригонометрической системы
416. Обобщенное уравнение замкнутости
417. Почленное интегрирование ряда Фурье
418. Геометрическая интерпретация
§ 5. Очерк истории тригонометрических рядов
419. Задача о колебании струны
420. Решение Даламбера и Эйлера
421. Решение Тейлора и Д. Бернулли
422. Спор по поводу задачи о колебании струны
423. Разложение функций в тригонометрические ряды, определение коэффициентов
424. Доказательства сходимости рядов Фурье и другие вопросы
425. Заключительные замечания

ЗАКЛЮЧЕНИЕ. ОЧЕРК ДАЛЬНЕЙШЕГО РАЗВИТИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА
I. Теория дифференциальных уравнений
II. Вариационное исчисление
III. Теория функций комплексной переменной
IV. Теория интегральных уравнений
V. Теория функций вещественной переменной
VI. Функциональный анализ

Алфавитный указатель