Настоящий курс геометрии, издаваемый в двух частях, написан в соответствии с программой по геометрии для студентов математических и физико-математических факультетов педагогических институтов. Изложение курса согласовано с программами алгебры, теории чисел и математического анализа. Основой учебного пособия послужили лекции, которые авторы читали студентам математического факультета МГПИ им. В.И. Ленина. Изложение теории сопровождается многочисленными примерами решения геометрических задач, в том числе задач курса геометрии средней школы.
Часть 1. Предисловие РАЗДЕЛ ПЕРВЫЙ. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ. ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ
Глава I. Элементы векторной алгебры в пространстве § 1. Параллельность прямых, лучей и плоскостей § 2. Направленные отрезки § 3. Векторы § 4. Сложение и вычитание векторов § 5. Умножение вектора на число § 6. Линейная зависимость векторов § 7. Координаты вектора § 8. Скалярное произведение векторов § 9. Векторные подпространства § 10. Применение векторов к решению задач школьного курса геометрии Глава II. Метод координат на плоскости § 11. Аффинная система координат на плоскости. Прямоугольная декартова система координат § 12. Деление отрезка в данном отношении § 13. Ориентация плоскости § 14. Угол между векторами на ориентированной плоскости § 15. Формулы преобразования координат § 16. Полярные координаты § 17. Метод координат на плоскости § 18. Алгебраическая линия. Окружность § 19. Приложение метода координат к решению задач школьного курса геометрии Глава III. Прямая линия на плоскости § 20. Уравнение прямой § 21. Общее уравнение прямой § 22. Взаимное расположение двух прямых § 23. Расстояние от точки до прямой § 24. Угол между двумя прямыми § 25. Основные задачи на прямую § 26. Приложение к решению задач школьного курса геометрии Глава IV. Линии второго порядка § 27. Эллипс § 28. Гипербола § 29. Парабола § 30. Уравнения эллипса, гиперболы и параболы в полярных координатах § 31. Мнимые точки плоскости. Общее уравнение линии второго порядка § 32. Пересечение линии второго порядка с прямой. Асимптотические направления § 33. Центр линии второго порядка § 34. Касательная к линии второго порядка § 35. Диаметры линий второго порядка. Сопряженные направления § 36. Главные направления. Главные диаметры § 37. Классификация линий второго порядка § 38. Приведение уравнения линии второго порядка к каноническому виду и построение ее точек Глава V. Преобразования плоскости и их приложения к решению задач § 39. Отображение и преобразование множеств § 40. Группа преобразований множества. Подгруппа группы преобразований § 41. Движения плоскости § 42. Два вида движений. Аналитическое выражение движения § 43. Классификация движений плоскости § 44. Группа движений плоскости и ее подгруппы § 45. Группа симметрий геометрической фигуры § 46. Преобразование подобия § 47. Группа подобия и ее подгруппы. Подобие фигур § 48. Аффинные преобразования § 49. Перспективно-аффинное преобразование § 50. Группа аффинных преобразований и ее подгруппы. Аффинная эквивалентность фигур § 51. Приложение преобразований плоскости к решению задач
РАЗДЕЛ ВТОРОЙ. ПРЯМЫЕ ЛИНИИ, ПЛОСКОСТИ И КВАДРИКИ В ЕВКЛИДОВОМ И АФФИННОМ ПРОСТРАНСТВАХ
Глава VI. Метод координат в пространстве. Смешанное и векторное произведения векторов § 52. Координаты точек в пространстве. Решение простейших задач в координатах § 53. Ориентация пространства § 54. Формулы пребразования координат в пространстве § 55. Смешанное произведение векторов. Объем тетраэдра § 56. Векторное произведение векторов. Площадь треугольника § 57. Метод координат в пространстве. Уравнение поверхности § 58. Приложение метода координат и векторной алгебры к решению задач стереометрии Глава VII. Плоскости и прямые в пространстве § 59. Уравнение плоскости § 60. Общее уравнение плоскости § 61. Взаимное расположение двух и трех плоскостей § 62. Расстояние от точки до плоскости. Угол между двумя плоскостями § 63. Уравнения прямой в пространстве § 64. Взаимное расположение прямых. Взаимное расположение прямой и плоскости § 65. Углы между двумя прямыми, между прямой и плоскостью § 66. Основные задачи на прямую и плоскость § 67. Приложение к решению задач школьного курса геометрии Глава VIII. Преобразования пространства § 68. Движения пространства § 69. Два вида движений. Инвариантные точки, прямые и плоскости § 70. Классификация движений пространства § 71. Преобразование подобия пространства § 72. Аффинные преобразования пространства § 73. Группа аффинных преобразований и ее подгруппы. Групповой подход к геометрии Глава IX. Изучение поверхностей второго порядка по каноническим уравнениям § 74. Поверхности второго порядка. Метод сечений § 75. Поверхности вращения § 76. Цилиндрические поверхности § 77. Конические поверхности второго порядка. Конические сечения § 78. Эллипсоид § 79. Гиперболоиды § 80. Параболоиды § 81. Прямолинейные образующие поверхностей второго порядка § 82. Приложение к решению задач школьного курса геометрии Глава X. Аффинное и евклидово n-мерные пространства § 83. Векторное n-мерное пространство § 84. Евклидово векторное «-мерное пространство § 85. Аффинное n-мерное пространство § 86. k-мерные плоскости § 87. Гиперплоскости пространства Аn § 88. Аффинные преобразования пространства Аn § 89. Евклидово n-мерное пространство § 90. Движения и подобия пространства En Глава XI. Квадратичные формы и квадрики § 91. Квадратичные формы § 92. Положительно-определенные квадратичные формы § 93. Квадрики в аффинном пространстве Аn § 94. Приведение уравнения квадрики к нормальному виду. Понятие о классификации квадрик § 95. Квадрики в евклидовом пространстве Глава XII. Геометрические построения на плоскости § 96. Задачи на построение с помощью циркуля и линейки § 97. Взаимное расположение двух окружностей. Построение треугольника по трем сторонам § 98. Основные построения. Схема решения задачи на построение § 99. Решение задач на построение методом пересечений § 100. Применение движений к решению задач на построение § 101. Метод подобия § 102. Инверсия. Метод инверсии § 103. Алгебраический метод § 104. Признак разрешимости задач на построение циркулем и линейкой § 105. Примеры задач на построение, неразрешимых циркулем и линейкой § 106. О решении задач на построение различными средствами
Приложение. Определения и обозначения
Литература
Предметный указатель
Часть 2.
Предисловие
РАЗДЕЛ ТРЕТИЙ. ПРОЕКТИВНОЕ ПРОСТРАНСТВО. МЕТОДЫ ИЗОБРАЖЕНИЙ
Глава 1. Проективное пространство § 1. Центральное проектирование. Возникновение проективной геометрии § 2. Понятие проективного пространства § 3. Координаты точек на проективной плоскости и на проективной прямой § 4. Модели проективной плоскости и проективного пространства § 5. Преобразование координат точек на плоскости и на прямой § 6. Уравнение прямой. Координаты прямой § 7. Принцип двойственности § 8. Теорема Дезарга § 9. Сложное отношение четырех точек прямой § 10. Сложное отношение четырех прямых пучка § 11. Проективные преобразования плоскости § 12. Предмет проективной геометрии. Аналитическое выражение проективных преобразований Глава II. Основные факты проективной геометрии § 13. Полный четырехвершинник. Задачи на построение § 14. Проективные отображения прямых и пучков § 15. Проективные преобразования прямой. Инволюции § 16. Мнимые точки проективной плоскости. Линии второго порядка § 17. Проективная классификация линий второго порядка § 18. Полюс и поляра § 19. Овальная линия второго порядка § 20. Задачи на построение, связанные с овальной линией § 21. Геометрия на проективной плоскости с фиксированной прямой § 22. Линии второго порядка на проективной плоскости с фиксированной прямой § 23. Евклидова геометрия с проективной точки зрения § 24. Перпендикулярность прямых, равенство отрезков и углов с проективной точки зрения § 25. Приложение проективной геометрии к решению задач школьного курса геометрии Глава III. Методы изображений § 26. Параллельное проектирование. Аффинные отображения § 27. Изображение плоских фигур в параллельной проекции § 28. Изображение многогранников в параллельной проекции § 29. Изображения цилиндра, конуса и шара § 30. Аксонометрия § 31. Полные и неполные изображения. Позиционные задачи § 32. Построение сечений простейших многогранников § 33. Метрические задачи § 34. Понятие о методе Монжа
РАЗДЕЛ ЧЕТВЕРТЫЙ. ЭЛЕМЕНТЫ ТОПОЛОГИИ. МНОГОГРАННИКИ. ЛИНИИ И ПОВЕРХНОСТИ В ЕВКЛИДОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ
Глава IV. Элементы топологии § 35. Метрические пространства § 36. Топологические пространства § 37. Непрерывность и гомеоморфизм § 38. Отделимость. Компактность. Связность § 39. Многообразия § 40. Понятие о клеточном разложении. Эйлерова характеристика многообразия § 41. Ориентируемые и неориентируемые двумерные многообразия § 42. Понятие о классификации компактных двумерных многообразий § 43. Топологические свойства листа Мебиуса и проективной плоскости Глава V. Многогранники в евклидовом пространстве § 44. Геометрическое тело § 45. Выпуклые многогранники § 46. Правильные многогранники § 47. Группы симметрий правильных многогранников Глава VI. Линии в евклидовом пространстве § 48. Векторная функция скалярного аргумента § 49. Понятие линии § 50. Гладкие линии § 51. Касательная. Длина дуги § 52. Кривизна и кручение линии § 53. Вычисление кривизны и кручения в произвольной параметризации. Винтовая линия Глава VII. Поверхности в евклидовом пространстве § 54. Понятие поверхности § 55. Гладкие поверхности § 56. Касательная плоскость и нормаль § 57. Первая квадратичная форма поверхности § 58. Кривизна кривой на поверхности. Вторая квадратичная форма § 59. Главные кривизны. Полная и средняя кривизны поверхности § 60. Примеры поверхностей постоянной кривизны Глава VIII. Внутренняя геометрия поверхности § 61. Внутренняя геометрия поверхности. Деривационные формулы § 62. Теорема Гаусса. Геодезическая кривизна линии на поверхности § 63. Изометричные поверхности. Изгибание поверхности § 64. Геодезические линии § 65. Дефект геодезического треугольника § 66. Теорема об эйлеровой характеристике для гладкой поверхности, гомеоморфной сфере с р ручками
РАЗДЕЛ ПЯТЫЙ. ОСНОВАНИЯ ГЕОМЕТРИИ
Глава IX. Исторический обзор обоснования геометрии. Элементы геометрии Лобачевского § 67. Геометрия до Евклида. «Начала» Евклида § 68. Критика системы Евклида § 69. Пятый постулат Евклида § 70. Н. И. Лобачевский и его геометрия § 71. Система аксиом Гильберта. Обзор следствий из аксиом групп I—II § 72. Система аксиом Гильберта. Обзор следствий из аксиом групп I—V § 73. Аксиома Лобачевского. Параллельные прямые по Лобачевскому § 74. Треугольники и четырехугольники на плоскости Лобачевского § 75. Взаимное расположение двух прямых на плоскости Лобачевского § 76. Окружность, эквидистанта и орицикл 270 Глава X. Общие вопросы аксиоматики. Обоснование евклидовой геометрии § 77. Понятие о математической структуре § 78. Интерпретации системы аксиом. Изоморфизм структур § 79. Непротиворечивость, независимость и полнота Системы аксиом § 80. Доказательство логической непротиворечивости геометрии Лобачевского § 81. Система аксиом Вейля трехмерного евклидова пространства § 82. Луч, угол, отрезок § 83. Равенство отрезков и углов. Длина отрезка § 84. Аксиоматика А. В. Погорелова школьного курса геометрии § 85. Об аксиомах школьного курса геометрии Глава XI. Длина, площадь и объем § 86. Длина отрезка. Теорема существования § 87. Измерение отрезков. Теорема единственности § 88. Площадь многоугольника в евклидовой геометрии. Теорема существования § 89. Теорема единственности. Равновеликие и равносоставленные многоугольники § 90. Объем многогранника в евклидовом пространстве (обзор) Глава XII. Неевклидовы геометрии § 91. Гиперболическое пространство § 92. Модель Кэли - Клейна плоскости Лобачевского § 93. О свойствах параллельных и расходящихся прямых на плоскости Лобачевского § 94. Понятие о сферической геометрии § 95. Понятие об эллиптической геометрии Римана
Внимание
Уважаемый посетитель, Вы зашли на сайт как незарегистрированный пользователь.
Мы рекомендуем Вам зарегистрироваться либо войти на сайт под своим именем.
